diketahui lingkaran A: (x - 1)^2 + ( y + 3)^2 = 25 dan lingkaran B: x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0.kedudulan lingkaran A terhadap lingkaran B adalah....

Kelas         : XI
Pelajaran   : Matematika
Kategori     : Irisan Dua Lingkaran
Kata Kunci : lingkaran, kedudukan

Pembahasan

Step-1
Menentukan koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran

Lingkaran A
(x - 1)² + (y + 3)² = 25
Sesuai dengan bentuk eksplisit (x - a)² + (y - b)² = r².
Koordinat titik pusat (a, b) dan jari-jari r.
∴ Pusatnya di titik A(1, -3) dan jari-jari r = 5.

Lingkaran B
x² + y² - 2x - 3 = 0
Sesuai dengan bentuk implisit x² + y² + Ax + By + C = 0.
Koordinat titik pusat [tex](a,b)=(- \frac{A}{2},- \frac{B}{2}) [/tex]
⇔ [tex](a,b)=(- \frac{-2}{2},- \frac{0}{2}) [/tex]
∴ Pusatnya di titik B(1, 0).
Jari-jari [tex]r= \sqrt{a^{2}+b^{2}-C} [/tex]
⇔ [tex]r= \sqrt{(1)^{2}+(0)^{2}-(-3)} [/tex]
⇔ [tex]r= \sqrt{1+3} [/tex]
∴ Jari-jari r = 2.

Step-2
Hitung jarak titik pusat kedua lingkaran

Siapkan:
⇒ pusat lingkaran A(1, -3) sebagai (x₁, y₁)
⇒ pusat lingkaran B(1, 0) sebagai (x₂, y₂)

Jarak kedua titik pusat 
[tex]AB= \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}} [/tex]
[tex]AB = \sqrt{(1-1)^{2}+(0-(-3))^{2}} [/tex]
Jarak kedua titik pusat, yakni AB = 3

Step-3
Cek kedudukan kedua lingkaran

⇒ Jari-jari lingkaran A, kita sebut R = 5, merupakan lingkaran besar
⇒ Jari-jari lingkaran B, kita sebut r = 2, merupakan lingkaran kecil
⇒ Jarak antarpusat AB = 3

Kondisi berbagai kedudukan antara dua lingkaran
1. Lingkaran kecil berada di dalam lingkaran besar dan sepusat (konsentris)
⇒ Kedua titik pusat berimpit, jarak antarpusat AB = 0
2. Lingkaran kecil berada di dalam lingkaran besar, namun tak sepusat.
⇒ AB < r < R atau AB < R - r
3. Kedua lingkaran bersinggungan di dalam.
⇒ AB = R - r
4. Kedua lingkaran bersinggungan di luar
⇒ AB = R + r
5. Kedua lingkaran berpotongan
⇒ R - r < AB < R + r
6. Kedua lingkaran saling terpisah 
⇒ AB > R + r
7. Kedua lingkaran saling tegak lurus (ortogonal)
⇒ AB² = R² + r²

Dari kondisi di atas, lingkaran A dan lingkaran B memenuhi
AB = R - r ⇒ 3 = 5 - 2
Berarti kedudukan kedua lingkaran adalah saling bersinggungan di dalam.

Perhatikan gambar terlampir.